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布尔——19世纪最重要的数学家之一,纯数学源于他的《思维规律》

时间:2022-11-24 13:53  |  责任编辑:夏冰  |  来源: IT之家  |  关键词:

英国数学家对数学发展的贡献在于独创性布尔就是一个典型的例子布尔逻辑代数迅速发展成为纯数学的一个主要分支全世界的数学家都把它推广到了数学的各个领域

纯数学是布尔在1854年出版的《思维法则》一书中发现的。

由此可见数理逻辑及其分支在当今的重要性在布尔之前的其他人,尤其是莱布尼茨和德摩根,曾经梦想将逻辑本身加入代数领域布尔把它变成了现实

布尔1815年11月2日出生于英国林肯,一个小店主的儿子,属于社会底层当时,英国学校学生的目标是在当时流行的工厂和矿山当工头这些学校不是为布尔这样的人设立的布尔国民学校的主要目的是让穷人处于适合他们的卑微地位布尔生活的那个时代,懂一点点蹩脚的拉丁语或希腊语是绅士的标志奇怪的是,死记硬背拉丁语语法被认为是最有用的精神训练

布尔也急切地做出了一个可悲的错误判断他决定,如果他想走出困境,他必须学习拉丁语和希腊语事实上,拉丁语和希腊语与他的贫穷无关12岁时,布尔已经掌握了足够的拉丁语,可以将一首贺拉斯的诗翻译成英语,并在当地报纸上发表这引起了一场文化上的争吵,一部分是对布尔的赞美,一部分是对他的羞辱

14岁时,波尔翻译了当地出版的希腊诗歌《春之颂》。

布尔最早的数学教育来自于他的父亲,父亲通过自学,远远超出了自己所受的一点点教育但是布尔坚持认为古典文学是生活的关键16岁时,他被迫赡养父母,并找到了一份小学教师的工作

布尔在两所小学教了四年书他在资本上一无所有,赚的每一分钱都是养活父母,维持清贫生活的最低需要那时他不能参军,因为他付不起佣金做律师,在财产,学历等方面都有明显的要求,这些要求他都达不到还有什么只有在教会,公牛决定成为一名牧师但苦于贫穷,布尔放弃了成为牧师的所有想法可是,他为理想职业所做的四年私人准备并没有完全白费,他精通法语,德语和意大利语

公牛办的私立学校。

几经波折,布尔在20岁时开办了自己的私塾在向学生教授数学的过程中,布尔对数学产生了兴趣那些当时平庸又讨厌的教科书先是让他吃惊,然后引起了他的鄙视这些东西算不算数学难以置信和阿贝尔,伽罗瓦一样,布尔直接到数学的原始大陆去寻找真正的数学他只接受过数学方面的初步训练,但通过自己的努力,他掌握了拉普拉斯的天体物理学,这是拉普拉斯最深刻的杰作之一他还深入研究了拉格朗日非常抽象的分析力学他甚至在没有任何人指导的情况下,靠自己的努力做出了对数学的第一次贡献——写了一篇变分法的论文

1831年,布尔开始了一项雄心勃勃的数学自学计划他用法语阅读拉格朗日和拉普拉斯的高等数学著作他研究并掌握了艾萨克·牛顿爵士的巨著《数学原理》

从他孤独的研究中,布尔取得了另一项成就他发现了不变量没有不变量的数学理论,相对论就不可能存在布尔之所以能看到别人忽略的东西,无疑是因为他对代数关系的对称美有着强烈的感受

可以指出,代数的现代概念始于英国皮科克在1830年发表了他的代数论文,这在当时被视为有点异端的新奇事物今天,它已经成为任何教科书中的常识皮科克完全抛弃了x,y,z,...必须在诸如x+y=y+x,xy=yx,x=xy+xz这样的关系中表示数字,这是我们在初等代数中看到的它们不一定要表示数字,这是代数及其应用最重要的一点x,Y,Z,…只是按照某种运算组合起来的任意符号

如果我们不知道代数本身只是一个抽象体系,那么代数可能仍然会牢牢地停留在18世纪的算术泥淖中,它无法在汉密尔顿的指导下朝着它极其有用的现代变体前进代数上的这一创新给布尔提供了第一次机会他最初指出,数学运算的符号应该从它们所依据的东西中分离出来,应该研究运算本身它们是如何结合的它们也受某种符号代数支配吗他在这方面的研究极其有意义,但他的另一个巨大贡献,即建立了一个简单可行的符号系统或数理逻辑系统,使这项工作相形见绌

为了介绍布尔的杰出发现,我们稍稍偏离主题19世纪有两位著名的汉密尔顿,一位是爱尔兰数学家威廉·罗恩·汉密尔顿,另一位是苏格兰哲学家威廉·哈密顿雄辩的哲学家汉密尔顿最终成为爱丁堡大学的逻辑和形而上学教授爱尔兰的汉密尔顿在19世纪成为了一名独创的数学家

苏格兰的汉密尔顿太笨了,在学校学不到比初等数学更多的东西,他的弱点就是自以为什么都懂当他开始教授和写作哲学时,他告诉世界数学是多么的不值钱

让数学头脑僵硬干瘪,对数学的过度学习,使头脑完全丧失了哲学和生活所需要的智能,数学对形成逻辑习惯完全没有帮助,在数学上,愚钝被提升为天赋,只有这样才能降为无能,数学可以扭曲思想,但它永远不会纠正它。

英国数学史上的重要人物德·摩根出现了他是历史上最有经验的辩手之一,是一位精力充沛的数学家,也是为布尔铺平道路的伟大逻辑学家

德莫陷入了与汉密尔顿关于他的谓词量化的争论德·摩尔根对演绎法做出了真正的贡献,但哲学家汉密尔顿公开指责德·摩尔根窃取了自己的成果,于是这场战斗开始了对德摩根来说,这场辩论是一场快乐的嬉戏德·摩根从不生气,汉密尔顿从未学会不发脾气

如果这只是一个关于优先权的争论,那就不值一提了其历史重要性在于,当时布尔是德·摩尔根的坚定支持者那时候公牛还在小学教书他知道德·摩根是对的,汉密尔顿是错的于是,在1848年,布尔出版了一本薄薄的书《逻辑的数学分析》

这本小册子受到了Demo的高度赞扬这本小册子只是六年后将会出现的更伟大事物的预演同时,公牛拒绝了去剑桥接受正规数学训练的建议他继续在小学教书,因为他的父母完全依赖他

1849年,他终于被任命为新成立的女王学院的数学教授他做了各种值得注意的数学工作,但他的主要努力是继续完善他的杰作1854年,39岁的波尔发表了这部巨著——对奠定逻辑和概率数学理论基础的思维规律的研究

以下摘录将让我们了解布尔的风格及其工作领域,

本文的目的是研究推理所依据的心算基本规律,用微积分语言来表达它们,并在此基础上建立逻辑科学,构造其方法,使这种方法本身成为应用于概率的数学原理的一般方法的基础,最后,从这些探索中发现的各种真理的成分中,收集了一些可能与自然构成和人类思维有关的线索…

确实有一些基于语言本身特点的一般原则,决定了符号作为科学语言元素的使用在某种程度上,这些元素是任意的他们的解释纯粹是常规的:我们可以在任何我们想要的意义上应用它们但这种许可受到两个必要条件的限制——第一,一旦这种意义被常规地确立,我们就决不能在同样的推理过程中偏离它,第二,指导这一过程的规则应完全基于上述所用符号的固定含义与这些原则相一致,逻辑和代数的符号法则之间建立的任何一致只能导致过程一致的结果这两个领域的解释仍然是分开的和独立的,每一个服从自己的法律和条件

在接下来的实践研究中,从实践的角度来看,逻辑是一个借助于具有明确解释的符号来实现的过程系统,并且只遵循基于这种解释的规则但同时又表明,它们在形式上与代数的一般符号是一样的,只是逻辑符号要遵守一个特殊的规则,而在这方面,量的符号不必遵守这个规则

将布尔逻辑简化成一种极其简单的代数在这个代数中,适当的推理成为公式的基本运算因此,逻辑本身受数学支配

自从布尔的开创性工作以来,他的伟大发现在许多方面得到了改进和推广在理解数学本质的今天,符号或数理逻辑是不可或缺的如果只能使用布尔之前的逻辑方法,那么人类的理性就无法应对符号推理已经深入的复杂困难布尔的大胆倡议具有里程碑意义

自从1899年希尔伯特发表了他的巨著《几何基础》以来,人们开始关注数学几个分支公设的系统阐述多亏了希尔伯特的工作,龚才得以被认可这种抽象的潮流曾经风靡一时在这种趋势下,特定课题中的符号和运算规则完全失去了意义,而是从纯形式的角度进行讨论,从而忽视了应用,而应用是人类任何科学活动的终极追求可是,抽象方法确实提供了不可替代的洞察力,尤其是布尔逻辑代数的简单性

因此,我们将描述布尔代数的公设以下一组公设摘自Hendington在《美国数学学会杂志》上发表的一篇文章

这组公设用K,+,X表示,其中K是一类不确定元素A,B,C,…,而A+B和a×b是两个不确定二元运算的结果+,×有10个公设,

I:如果A和B在K类,那么a+b在K类。

I:如果A和B在K班,那么ab在K班。

II:有一个元素Z,所以对于每个元素A都有A+Z = A。

b:有一个元素U,所以对于每个元素A都有Au = A。

ⅲa:a+b = b+ a .

ⅲb:ab = ba .

IVa:a+bc=.

ⅳb:a = a b+ AC .

v:对于每个元素A,都有一个元素A’,所以A+A’= U,AA’= z。

ⅵ:k类中至少有两种不同的元素。

很容易看出下面的解释满足这些公设:A,B,C,…是一些类,A+B是由A类和B类中至少一个类中的所有那些东西组成的类,Ab是由既在A类又在B类的事物组成的类,z是空类——没有元素的类,u是完整的类——一个包含所有讨论的类中的所有内容的类那么公设V表明,对于任何已知的A类,都存在一个A '类,包含所有那些不在A中的东西,注意,ⅵ表示U和Z不是同一个类

从这样一组简单明了的陈述中,整个经典逻辑可以用带符号的代数来建立从这些公设中发展出了一种可以称之为逻辑方程的理论:将逻辑学中的问题转化为这样的方程,然后用代数方法求解这些方程,然后根据逻辑数据重新解读这个解,给出原问题的答案

关系altB由以下任一等式定义:A+B = B,ab=a,a'+b=U,AB ' = Z。

为了证明这些是合理的,考虑第二个方程AB = A这个方程说,如果A包含在B中,那么A和B中的一切都是A的总和

从公设可以证明以下关于包含的定理选取的例子都符合我们对包容含义的直观概念

1.alt答.

2.if altb,bltc,然后alt丙.

3.If altb,blta,那么a=b..

4.Zlt答.

5.altu .

6.altA+b和if alty,blty,那么a+BLT,y .

7.ablt而如果xlta,xltb,那么xltab .

8.如果xlta,xltd’,那么x = z,且如果改变,y,a ' lty,那么y = u。

9.If altb '不成立,那么至少有一个元素X不同于Z,所以xlta,xlt乙.

请注意lt,在算术和分析中是小于的符号这种符号推理的重要性在于,它可以用于与所有数学基础相关的微妙问题如果不是这种精确的方法一劳永逸地确定文字或其他符号的含义,这种问题对于普通人来说可能是不可能的

和几乎所有的新奇事物一样,符号逻辑在发明后的很多年里都没有受到人们的重视即使在1910年,著名数学家也轻蔑地称之为没有数学意义,在哲学上很奇怪的东西罗素在《数学原理》中的工作首先让所有职业数学家相信,符号逻辑可能值得他们关注这里可以提一下康托尔,他是符号逻辑的坚定反对者懂数就是懂数学

布尔于1864年12月8日去世,享年50岁。